ОСТАННІЙ ПОДКАСТ
Підписуйся на найнауковішу розсилку!
І отримуй щотижневі новини науки і технологій

    Ми під'їдаємо крихти cookies за вами. Навіщо це нам?

    Читати

    Пардон за відволікалочку. Допоможи Куншт бути незалежним!

    Пардон за відволікалочку. Допоможи Куншт бути незалежним!

    Повідомлення успішно надіслано

    Для пошуку
    введіть назву запису

    Чого не знають математики? / Начитала Катерина Павленко

    00:00
    00:00
    Математика — 21.11.19
    ТЕКСТ: Іван Кудін
    Ілюстрації: Каталіна Маєвська
    Ми любимо тексти без помилок. Якщо ви все ж таки щось знайшли, виділіть фрагмент і натисніть
    Ctrl+Enter.
    Чого не знають математики

    «Я знаю тільки те, що нічого не знаю», – повторював Сократ. «Через будь-яку точку, що лежить поза прямою, можна провести іншу пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну», – писав Евклід. Обидва мислителі помилялися. У чому саме? 2000 років потому філософ Бертран Рассел поставив запитання, а математик Курт Ґьодель відповів на нього, назавжди змінивши математику та філософію.

    «Через будь-яку точку, що лежить поза прямою, можна провести іншу пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну» — п'ятий постулат Евкліда.

    Як працює математика

    Перше, що варто зрозуміти: математика – не цариця, а служниця всіх наук. Вона лише зручний інструмент для опису реальності. Саме тому математика розвивалася, адже існування та вигляд будь-якого інструмента завжди залежить від потреб, які він задовольняє. Наприклад, молоток призначений для забивання цвяхів, але якщо немає потреби забивати цвяхи, то це лише дерев’яна палиця із залізякою певної форми на кінці. Так само і з математичними поняттями. Колись у наших пращурів виникла потреба у лічбі. Один, два, три, чотири… і з’явилися числа. Не виникла б потреба у лічбі, не було б і чисел. Ця тенденція збереглася і донині: математик вигадує те, що йому потрібне для здійснення певних операцій – математичні об’єкти. Для математика цілком можливий світ де, наприклад, сонце світить уночі. Звісно, не все так просто. Треба дати визначення: сонця, ночі, властивості сонця світити та що це означає у рамках конкретної системи.  

     

    Грубо кажучи, математики грають за правилами, котрі самі вигадують, та чітко їх дотримуються. Ці базові правила називають аксіомами, все, що з них випливає – теоремами, а світ, який на них побудований, – формальною логікою. Геометрія та арифметика – також формальні логіки.  

     

    Здавалося б, усе чудово, і за таких умов можна вивчати все, що завгодно, наприклад, уявних рожевих слонів на уявних синіх планетах, якби не одне «але». Виявляється, аксіоми можуть призводити до тверджень, що суперечать одне одному, – парадоксів. Це, звісно, погано, але, як виявилося, уникнути цього не так просто (трохи згодом ми побачимо, як саме це відбувається). Зараз нам потрібно усвідомити одне: правила (або просто твердження), які ми вигадали, можуть (і зазвичай будуть) містити внутрішні суперечності. Як приклад можна навести парадокс Епіменіда – твердження: «Всі мешканці міста, в якому я живу, брехуни». Якщо Епіменід правий, що всі мешканці його міста брехуни, то він теж брехун, і його твердження хибне. Філософ навіть уявити собі не міг, яку велику роль зіграють для математики подібні нісенітниці.

    Інтуїція проти Логіки

    Кризи бувають не лише творчі та політичні, наука також може переживати кризу. Один з найтяжчих періодів в історії математики відбувся на початку ХХ сторіччя. Його називають «кризою заснувань». Суть її полягала у «витоках математики», власне, в аксіомах. Уявіть собі, що у школі ви розв’язуєте важке рівняння, і раптом щось пішло не так. Сталося те, чого бути не повинно, припустимо, дискримінант від’ємний, і ви розумієте: «десь помилився». Таким «дискримінантом» стали логічні парадокси. Перший з них помітив британський філософ та логік Бертран Рассел. Найчастіше він формулюється так: «У місті зачіски всім робить перукар, ніхто не робить собі зачіску сам, але якщо це так, то хто робить зачіску перукарю?». Тобто перукар не може робити собі зачіску, але одночасно не може цього не робити.   

     

    Це був дуже простий парадокс, але саме він був «камінчиком, що викликав схід лавини», поставивши запитання: чи може множина містити саму себе? Найдивніша ситуація виникла із нескінченними множинами. Адже нескінченність не може містити іншу нескінченність (бо не має чітко визначеної кількості елементів) — це нісенітниця. Тож вирішили, що помилка саме у цьому понятті. З часів античності існувало два підходи до того, як його розуміти.  

     

    «Нескінченність завжди в можливості, а не в дійсності», – вважав Аристотель. Прикладом такої нескінченності може бути давній народ, якому дали завдання записувати номер кожного покоління (кількість поколінь в кожен момент часу скінченна, але номер кожного наступного покоління на одиничку більший). Тобто, це величина, яка завжди зростає та ніколи не досягає максимальної точки. Така нескінченність отримала назву потенційної.  

     

    Був й інший підхід, який серйозно не розглядався аж до ХІХ сторіччя – актуальна нескінченність. Уявіть собі божественну сутність, що записала всі можливі числа, але при цьому найбільшого числа не існує (або ми не можемо його збагнути). Це інтуїтивне поняття виникло у зв’язку з існуванням нескінченностей різного розміру. Наприклад, натуральних (1, 2, 3…) чисел нескінченна кількість, але цілих чисел (…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…) більшеМається на увазі, що множина натуральних чисел є підмножиною множини цілих чисел, і в цьому сенсі цілих чисел більше ніж натуральних. Таке трохи спрощене формулювання використовується для кращого розуміння поняття актуальної нескінченності., ніж натуральних. Проте обидві ці множини нескінченні. Тому виникла потреба розглядати нескінченності як щось цілісне (аби порівнювати їх). Такий підхід є дуже абстрактним. Не зрозумів його навіть великий математик Карл Ґаусс. «Я протестую проти вживання нескінченної величини як чогось завершеного, що в математиці неприпустимо», – писав він.

    Математики грають за правилами, котрі самі вигадують, та чітко їх дотримуються. Ці базові правила називають аксіомами, все, що з них випливає – теоремами, а світ, який на них побудований, – формальною логікою

    У ХХ столітті Ґаусс, мабуть, став би інтуїцистом. Інтуїцисти стверджували, що парадокси виникають саме через актуальну нескінченність, від неї потрібно взагалі відмовитись, а математику будувати на поняттях, які ми розуміємо інтуїтивно (наприклад, як ми розуміємо натуральні числа). Їм протистояли логіцисти на чолі з Бертраном Расселом та німецьким математиком Давидом Гільбертом. Логіцисти стверджували: проблема саме в інтуїтивних поняттях, тож потрібно повернутися до аксіом і надати їм більшої точності, зробивши математику ще формальнішою.  

     

    Ці дві школи математиків були абсолютно непримиренними, а істина, як часто це трапляється, лежала десь посередині.  

    Теореми Ґьоделя

     Уявіть собі двох бійців на рингу, бій у розпалі. Раптом на ринг виходить рефері й оголошує: «Правила змінилися, нічия!». Саме таким «рефері» у 1930 році став австрійський математик Курт Ґьодель, коли довів свою першу теорему про неповноту. Вона звучить так: «Для будь-якої формальної логіки існують істинні твердження, які не можна довести на основі її аксіом». На перший погляд, це повна нісенітниця. Але, припустімо, існує твердження, що говорить саме за себе «мене не можна довести». Якщо твердження хибне, то ми можемо довести хибне твердження. Інакше твердження істинне, тоді його не можна довести та одночасно воно є істинним.  

    Перший постулат Евкліда: через дві точки можна провести пряму. Другий: відрізок прямої можна продовжити необмежено. Третій: з будь-якого центру можна описати коло. Четвертий: усі прямі кути рівні між собою.

    Наприклад, у школі всі вивчали «класичну», або Евклідову геометрію. Вона заснована на п’яти аксіомах, які Евклід описав у своїй книзі «Витоки». Ці постулати очевидні для будь-якої людини. Але до ХІХ століття вважалося, що п’ятий постулат – це насправді теорема, яку можна вивести з чотирьох попередніх аксіом, аж поки російський математик Ніколай Лобачевський не довів, що це неможливо. Звичайно, його доведення було дуже складним та довгим, у бідолахи не було теореми Ґьоделя, але він впорався і змінив п’ятий постулат. Так з’явилася перша «Неевклідова геометрія» («геометрія Лобачевського»), чудернацька, проте дуже зручна. На відміну від «Евклідової» геометрії, вона працює не тільки із прямими, а й з кривими та «хвилястими» поверхнями. Як бачимо, поодинокі випадки таких «парадоксальних» тверджень траплялися і раніше, але саме Ґьодель узагальнив їх і остаточно довів їхнє існування.  

     

    Теорема стала переворотом, а самого Ґьоделя зробила світовою знаменитістю. У 1931 році він опублікував статтю, де окрім строгого математичного доведення першої теореми сформулював менш відому, але не менш знакову, другу теорему про неповноту: «У формальній логіці не можна ввести аксіоми, які гарантували б відсутність внутрішніх суперечностей у ній».  

     

    Якби Сократ знав другу теорему Ґьоделя, він, мабуть, перефразував би своє твердження так: «Я не знаю, чого саме я не знаю».  

    Математика набагато ближча до філософії, ніж заведено вважати

    Нові обрії

    У науці, як і у мистецтві, важливий принцип, а не окремі випадки. Герберт Веллс став родоначальником цілого жанру, коли написав «Машину часу». Так само, довівши дві теореми про неповноту, Курт Ґьодель вирішив цілу низку задач з минулого та майбутнього науки.   Завдяки другій теоремі стало зрозуміло, що з науки не можна повністю виключити інтуїцію та здогадки. Так почалася епоха експериментів із базовими аксіомами. Це була поразка логіцистів, але не перемога інтуїцистів. Поняття актуальної нескінченності не виключили з математики.  

     

    У кінці 1930-х років Ґьодель довів, що поняття про сутність нескінченності не можна ні довести, ні спростувати (користуючись наявними аксіомами). Навіть сьогодні актуальна нескінченність залишається гіпотезою.  

     

    Читаючи цей текст, можна зрозуміти, що математика набагато ближча до філософії, ніж заведено вважати. На відміну від фізики або біології, це дуже абстрактна наука. Ми бачимо, як крутиться колесо та як літає птах, а як щодо математики? Ми відкриваємо її чи вигадуємо? Хто створив її: природа чи людина? Схожі запитаннями ставив античний філософ Платон. Він дійшов висновку, що людський мозок не здатний вигадати нічого, що не має стосунку до реальності навколо нас. Такої ж думки був і Ґьодель. У неопублікованих роботах він писав: теореми про неповноту доводять, що позиція платонізму правильна.  

     

    Погоджуватися з поглядами Ґьоделя чи ні, вирішувати вам, але принцип, закладений у теоремі Ґьоделя, необхідно розуміти кожному, щоб ніколи не здаватися. Завжди йдіть уперед, а коли здається, що це кінець, коли все йде шкереберть, не вдається раз за разом настільки, що здається неможливим, то… вийдіть за межі. Додайте ще одну аксіому.

    ТЕКСТ: Іван Кудін
    Ілюстрації: Каталіна Маєвська
    Статті
    Промо
    Проєкт інтелект. Воєнний сезон. Епізод 5: NFT та Україна

    Чи можна написати «Проєкт інтелект» на гривні й продати за мільйони доларів як NFT?

    Людина
    Від батька до сина: що таке генеалогія і як досліджувати свій рід

    Що таке ДНК-генеалогія і як далеко кожний з нас може просунутися у вивченні свого роду?

    Наука
    Екологічно чиста отрута: уривок з книжки «Зоологічна екскурсія супермаркетом»

    Чому краще утриматися від «дикого» промислу морепродуктів, особливо у водоймах, де цвіте вода?

    Наука
    Передумови приходу диктаторів до влади: Італія, Німеччина, РФ

    Що стало передумовами приходу диктаторів до влади на прикладі фашистської Італії, нацистської Німеччини та путінської росії? Розповідає співавтор і ведучий каналу «Історія Без Міфів» Владлен Мараєв.

    Людина
    Як кожен з нас може подякувати військовим і допомогти їм з адаптацією

    Як змінюється світосприйняття військових і що ми можемо зробити, аби висловити їм вдячність і допомогти в адаптації до мирного життя?

    Біологія
    Не тільки в історії. Який слід залишить війна в наших генах

    Як війни, голод та важкі психологічні травми залишають слід у геномі людини й чи можемо ми на це якось повпливати?

    Повідомити про помилку

    Текст, який буде надіслано нашим редакторам: