ОСТАННІЙ ПОДКАСТ
Підписуйся на найнауковішу розсилку!
І отримуй щотижневі новини науки і технологій

    Ми під'їдаємо крихти cookies за вами. Навіщо це нам?

    Читати

    Пардон за відволікалочку. Допоможи Куншт бути незалежним!

    Пардон за відволікалочку. Допоможи Куншт бути незалежним!

    Повідомлення успішно надіслано

    Для пошуку
    введіть назву запису
    Математика — 28.01.20
    ТЕКСТ: Петро Мацкевич
    Ілюстрації: Каталіна Маєвська
    Ми любимо тексти без помилок. Якщо ви все ж таки щось знайшли, виділіть фрагмент і натисніть
    Ctrl+Enter.
    Магія чисел

    Магічні числа популярні не лише у астрологів чи кабалістів, а й серед серйозних науковців. Вчені часом стають забобонними, бо деякі їхні відкриття мають геть містичний вигляд. Та що насправді приховують, на перший погляд, чарівні розрахунки? 

    Псевдомагічні числа

     

    Нещодавно у книжці Сергія Цоколенка «Світло, або жерці порожнечі» я знайшов посилання на число 142857. Цоколенко називає його числом Аполідора. Однак скільки б ви не шукали в гуглі, хто такий Аполідор, ви цього не знайдете — автор числа просто вигаданий паном Цоколенком.

    Але повернімося до числа й зробімо кілька арифметичних дій:

    142857*1 = 142857,

    142857*2 = 285714,

    142857*3 = 428571,

    142857*4 = 571428,

    142857*5 = 714285,

    142857*6 = 857142.

    У відповіді залишаються всі цифри, які складають 142857, у тій самій послідовності. По колу.

    Далі — цікавіше. Коли ми помножимо це число на 7, то отримаємо 999999. Та на цьому дива не припиняються. Якщо додати 142 до 857, отримаємо 999, якщо ж додати 14, 28 і 57, отримаємо 99. І, нарешті, 142 857 в квадраті дає 20408122449. Додаємо 20408 та 122449 і отримуємо 142857 — з чого почали, до того й повернулись.

     

    Це направду має майже містичний вигляд. Якщо до цього додати роки певних історичних подій (наприклад, 1428 року біля стін Орлеану з’являється Жанна д’Арк), то можна «нагородити» цілу низку містичних історій, які буцімто випливають із властивостей певного числа.

     

    А насправді жодної містики у числі 142857 немає. Теорія чисел дає просту відповідь на усі «містичні» фокуси, продемонстровані вище. Ось вам результат ділення одиниці на сім:

     

    1/7 = 0,142857142857142857…

     

    І всі властивості «магічного» числа 142857 — наслідок того, що воно є результатом ділення одиниці на сім.

     

    А тепер я б хотів поговорити про справді магічні числа. Магічні, бо вони природні, а немає нічого магічнішого, аніж природне.

     

    Природні магічні числа

     

    Ось «магічні» природні числа:

    π («пі») = 3,1415926535…

    е («є») = 2,7182818284…

    Ви можете запитати: що містичного у цих числах? Про число π всі ми знаємо зі школи, а перше його наближення, відоме нам як 3,14, було розраховане ще Архімедом у ІІІ ст до н.е.

     

    Першою особливістю цих двох чисел є те, що вони не вигадані «з голови» чи сконструйовані. Число π дорівнює площі круга з радіусом, рівним одиниці — як відомо зі школи, площа круга дорівнює πR2 (де R — радіус круга), що при R = 1 дорівнює просто π

     

    По-іншому це число ще визначають як відношення довжини кола будь-якого діаметра до величини самого діаметра. Ця фундаментальна пропорція властива всім колам і кругам, а отже, вона бере участь у розрахунках довжини кола та площі круга, який воно окреслює; об’єму та площі поверхні куль, циліндрів. Тобто число π є мірою певних властивостей низки природних об’єктів, так чи так пов’язаних із колом.

     

    Число π природним чином виникає також під час спроби розв’язати проблему квадратури круга, сформульовану ще Архімедом: як за допомогою циркуля та лінійки побудувати квадрат, площа якого рівновелика площі заданого круга.

     

    Чимало математиків за понад 2000 років від формулювання цієї задачі витратили на її розв’язання все життя. І лише 1882 року німецький математик Карл Луїс Фердинанд фон Ліндеман довів, що вона не має розв’язку. Виявилося, що такий «вирок» тим математикам, які намагались розв’язати проблему квадратури круга, є просто наслідком однієї з особливостей числа π: воно неалгебраїчне (трансцендетне), тобто не є розв’язком жодного алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами.

     

    Про це не могли знати математики минулих століть. Саму проблему про системність загальних розв’язків алгебраїчних рівнянь сформулювали лише у першій третині XIX століття два генії, на роботах яких тримається сучасна математика — француз Еваріст Галуа та норвежець Нільс Генрик Абель, чиї роботи не набули визнання за їхнього життя. І знову містика — обидва ці математичні генії померли дуже молодими. Галуа загинув на дуелі в 20 років, а Абель помер від туберкульозу в 27.

     

    Число е — значно «молодше» за число π. Воно є фундаментальною математичною константою, яка відіграє унікальну роль в диференціальному та інтегральному численні, а також в теорії ймовірностей та інших розділах математики, котрі описують природні явища. І хоча це число називають числом Ейлера або числом Непера, насправді воно вперше природним чином «вилізло» у роботі швейцарського математика Якоба Бернуллі, коли він працював на банк і вирішував проблему складних відсотків за кредитами чи депозитами.

     

    Мабуть, така позірна несправедливість у пріоритетах на назву числа пов’язана із вкладом Ейлера в розвиток математики та механіки, а також з тим значенням, якого він надавав у своїх роботах числу е і пов’язаним з цим числом функціям. Усе XVIII століття у математиці минуло під знаком Леонарда Ейлера, який був не лише геніальним математиком, а й педагогом. Його позначення математичних символів та структура викладу матеріалу для підручників і досі незмінні, адже вони зрозумілі та прозорі. Власне, й позначення для числа е ввів саме Ейлер.

     

    Чому ж тоді число е називають ще й числом Непера? Саме шотландець Джон Непер винайшов логарифм, чим неймовірно спростив обчислення для астрономів, яким він сам також був. Французький математик і астроном П’єр-Сімон Лаплас казав, що винайдення логарифмів «спростило працю астронома, подвоївши його життя». Логарифми мають унікальні властивості, котрі визначили їхнє широке використання для суттєвого спрощення трудомістких обчислень. У «світі логарифмів» множення замінюється на значно простіше додавання, а ділення — на віднімання. Запишемо це у математичних знаках: loga(x*y) = logax + logay, loga(x/y) = logax – logay

     

    Ще зі школи нам відоме таке позначення логарифму: logab = c (до речі, введене тим самим Ейлером). Тут число c (показник) визначає, до якого степеня необхідно піднести число а (основу), щоб одержати число b. Тобто число c є таким, що аc = b.

     

    Логарифм, основою якого є число е, має окреме позначення (logеb = lnb). Він найчастіше використовується у фізиці та математиці, його називають натуральним (тобто природним) логарифмом.

     

    Рівень розвитку математики у часи Непера був таким низьким, що його винахід логарифмів здається містичним, особливо з огляду на те, що він не спілкувався з тодішньою математичною спільнотою, все життя сидів у своїй родинній вежі Мерчистон на півночі Шотландії і споглядав зорі. Можливо, цій містичності сприяло те, що математику Непер вважав відпочинком від свого основного заняття — богослів’я. Його найвідоміша праця, багато разів перевидана у Великій Британії і перекладена ще за його життя німецькою та французькою мовами, присвячена математичному трактуванню Апокаліпсиса — все трактування написане у формі теорем та їхніх доказів. Зокрема 26 теорема звучить так: «Папа Римський є Антихристом». Я не є прибічником цього твердження, але з точки зору математики докази Непера дуже переконливі.

     

    Що пов’язує π і е

     

    Як і число π, число е є неалгебраїчним (трансцендетним). Окрім того, обидва ці числа є ірраціональними, тобто такими, які не можна подати як m/n, де m і n — цілі числа. А отже, їхнє представлення десятковим дробом має нескінченну кількість цифр і не є періодичним, на відміну від того числа, з якого ми почали. Саме тому «точний» запис цих чисел існує лише як межі якихось виразів (як-от наведена нижче формула Бернуллі), нескінченна сума, нескінченні добутки чи нескінченні дроби. Таких представлень для цих чисел існує величезна кількість. Ось лише кілька з них:

     

    π/4 = 1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – … (ряд Лейбніца)

    π/2 = (2/1)*(2/3)*(4/3)*(4/5)*(6/5)*(6/7)*(8/7)*(8/9)… (формула Валліса)

    е = (1+1/n)n при n, що прямує до нескінченності (формула Бернуллі)

    е = 1+1/1 + 1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) + … (ряд Тейлора)

     

    Звичайно, оскільки абсолютно точні значення для π і е отримати неможливо (у «точному» записі цих чисел є нескінченна кількість знаків після коми), то завжди користуються наближеними значеннями, обмежуючись певною (залежною від потрібної точності) кількістю доданків ряду, множників у добутку або величиною n у формулі Бернуллі. Що більші ці кількості чи величини, то більша точність.

     

    Питанням розрахунків чисел π і е з якнайбільшою кількістю правильних знаків і досі займаються математики. Наприклад, число π на сьогодні вже відоме з точністю понад два трильйони п’ятсот мільярдів знаків. Однак жодної містики у проблемі точності обчислень чисел π і е вже немає — все залежить від потужності обчислювальної техніки та розробки нових алгоритмів, які оптимізують обчислення.

     

    Між числами π та е існує тісний зв’язок і в математиці, і в описі багатьох фізичних явищ. Втім, на перший погляд, який може бути зв’язок між числом, яке дорівнює площі круга одиничного радіуса (π) та числом, яке «народилося» під час обчислення складних банківських процентів (е)?

     

    Щоб зрозуміти цей зв’язок, доведеться пригадати поняття функції, ряду, похідної.

     

    Функція — це «правило», яке зіставляє певне вихідне значення із кожним вхідним значенням. Вхідне значення функції називають аргументом, а значення функції за такого аргументу — вихідним значенням, або значенням функції щодо відповідного аргументу. Ось, наприклад, функція f(x) = x2 ставить у відповідність будь-якому значенню аргументу х значення цього аргументу в квадраті. Тобто у цьому випадку f(2) = 4, f(3) = 9.

     

    Ще один приклад важливої для нас функції — степенева функція f(x) = ах. Якщо а = 3, то для такої функції f(2) = 9, а f(3) = 27, а от f(0) = 1 (для будь-якого значення а, крім нуля).

    Частковим, але дуже важливим випадком степеневої функції є випадок, коли а = е. Така функція ех має навіть окрему назву — експонента — і окреме додаткове позначення — exp (x).

     

    Експонента має унікальну властивість: це єдина функція, швидкість зміни якої за зміни аргументу (похідна від функції) збігається із самою функцією. За будь-якого іншого значення а це вже не так. Це ще одна унікальна властивість числа е.

     

    Оскільки числа π і е — дуже непрості, то й зв’язки між ними є доволі непростими для розуміння.

     

    Ось моя улюблена формула такого зв’язку – формула Ейлера, яка об’єднує п’ять фундаментальних констант: нуль, одиницю, комплексну одиницю «i», квадрат якої рівний –1, та числа е і π.

     

    е + 1 = 0

     

    І наостанок – про ще один несподіваний зв’язок між числами е і π, який виникає через теорію ймовірностей і описує безліч речей — від кучності стрільби по мішенях до квантових явищ. Річ у тім, що у теорії ймовірностей дуже важливою є функція exp (–х2), яку інколи на математичному сленгу називають «гауссятина» (від імені німецького математика Карла Фрідріха Гаусса). Графік цієї функції (у школі нас нерідко примушували малювати графіки) має вигляд дзвону, а площа під усім цим графіком чомусь раптом рівна кореню квадратному з числа π. Знову диво!

    ТЕКСТ: Петро Мацкевич
    Ілюстрації: Каталіна Маєвська
    Статті
    Промо
    Проєкт інтелект. Воєнний сезон. Епізод 5: NFT та Україна

    Чи можна написати «Проєкт інтелект» на гривні й продати за мільйони доларів як NFT?

    Людина
    Від батька до сина: що таке генеалогія і як досліджувати свій рід

    Що таке ДНК-генеалогія і як далеко кожний з нас може просунутися у вивченні свого роду?

    Наука
    Екологічно чиста отрута: уривок з книжки «Зоологічна екскурсія супермаркетом»

    Чому краще утриматися від «дикого» промислу морепродуктів, особливо у водоймах, де цвіте вода?

    Наука
    Передумови приходу диктаторів до влади: Італія, Німеччина, РФ

    Що стало передумовами приходу диктаторів до влади на прикладі фашистської Італії, нацистської Німеччини та путінської росії? Розповідає співавтор і ведучий каналу «Історія Без Міфів» Владлен Мараєв.

    Людина
    Як кожен з нас може подякувати військовим і допомогти їм з адаптацією

    Як змінюється світосприйняття військових і що ми можемо зробити, аби висловити їм вдячність і допомогти в адаптації до мирного життя?

    Біологія
    Не тільки в історії. Який слід залишить війна в наших генах

    Як війни, голод та важкі психологічні травми залишають слід у геномі людини й чи можемо ми на це якось повпливати?

    Повідомити про помилку

    Текст, який буде надіслано нашим редакторам: