fbpx
ОСТАННІЙ ПОДКАСТ

Ми під'їдаємо крихти cookies за вами. Навіщо це нам?

Читати

Ми теж не любимо поп-ап. Але нам потрібна твоя підтримка!

Ми теж не любимо поп-ап. Але нам потрібна твоя підтримка!

Повідомлення успішно надіслано

Для пошуку
введіть назву запису
Блог — 30.03.19
ТЕКСТ: Михайло Зарічний
Ми любимо тексти без помилок. Якщо ви все ж таки щось знайшли, виділіть фрагмент і натисніть
Ctrl+Enter.
Голос країни: математика і голосування

Що таке стратегічне голосування та парадокс Кондорсе? І чому, якщо число кандидатів більше двох, не існує демократичної системи виборів, яка задовольняє природні критерії?

Вибори є однією з найважливіших демократичних процедур. Результат виборів встановлюється голосуванням. Якщо кандидатів двоє, то жодних проблем не виникає: кожен із виборців може віддати свій голос за того чи іншого кандидата. Перемагає той, хто отримав більше голосів. Якщо виборців достатньо багато, то малоймовірно, щоби число голосів за двох кандидатів виявилося рівним, тому ми не розглядаємо такий випадок.

 

Ситуація, однак, ускладнюється, якщо кандидатів троє. Для прикладу назвемо їх так – Андрій, Василина і Степан. Кожен виборець для себе визначається, який із кандидатів у нього на першому місці, який – на другому, а який – найбільш небажаний. Для спрощення вважатимемо, що для виборця жодних два кандидати не є еквівалентними – завжди хтось з них кращий, а хтось гірший.

 

Припустимо, що на виборах думки виборців про кандидатів розподілилися так, як показано в таблиці.

Кожен стовпчик таблиці репрезентує певну частину соціуму – відсотки вказано зверху; далі йдуть кандидати у порядку переваги. У світі відбувається стільки виборів, що такий розподіл думок виборців про кандидатів цілком може трапитися. Насправді, щось схоже відбувалося одного разу на виборах губернатора  Каліфорнії.

 

Подивимося на таблицю. Який кандидат у цій ситуації заслуговує на обрання? Почнемо з Андрія. Аналіз другого і третього стовпчика таблиці показує, що 64% (тобто 34%+30%)  виборців вважають, що Степан кращий від Андрія, а отже, Андрія не оберуть.

 

Однак, порівнюючи Степана і Василину, бачимо (див. перший і третій стовпчики), що відчутна більшість вважає Василину кращою за Степана. Так, Степан теж не переможе. Залишається Василина, але якщо поглянемо на перші два стовпчики, то побачимо, що 70% виборців голосують за Андрія, а не за неї.  

 

Підсумуємо: хоч на якого кандитата ми вкажемо, знайдуться майже дві третини виборців, які хочуть обрати когось іншого. Цей парадокс (інакше не скажеш) називають парадоксом Кондорсе, названим на честь французького філософа, математика, політичного діяча Ніколя де Кондорсе.

Парадокс Кондорсе неодноразово перевідкривався, аж поки в 1951 році американський економіст Кеннет Ероу не довів його узагальнення – свою знамениту теорему про неможливість. У вельми спрощеному формулюванні вона звучить так: якщо число кандидатів більше двох, то не існує демократичної системи виборів, яка задовольняє певні природні критерії. Тут слово «демократичної» означає, зокрема, що нікому з виборців не нададуть жодної переваги під час  голосування.

 

Цей результат (а за нього Ероу нагородили премією Нобелівського комітету з економіки) можна розглядати як математичну мотивацію для двопартійної системи, яка існує у різних країнах світу. Наприклад, у США на президентських виборах, як правило, за найвищий державний пост змагаються кандидат від республіканської та кандидат від демократичної партії.

 

Попри негативне звучання теореми Ероу, є ситуації, коли демократичні вибори вдається зробити за довільного числа кандидатів. Щоби краще уявити собі одну з таких ситуацій, припускаємо, що всі виборці живуть на одній довгій вулиці й обирають місце для зупинки міського автобуса на цій вулиці серед декількох варіантів, запропонованих міською владою.

 

Зрозуміло, що кожен воліє мати зупинку ближче до себе, тому голосує саме за такий варіант. Так ось, за такого голосування більшість одержить той варіант зупинки, за який проголосував мешканець будинку з середнім номером, якщо рахувати від початку вулиці (для спрощення вважаємо, що є непарне число будинків і кожен громадянин має свій власний будинок).

На рисунку бачимо, що перемагає варіант В – це вибір громадянина, що мешкає в 5-му будинку (5 – середнє число у послідовності від 1 до 9). Справді, для громадян з номерами від 5 до 9 місце В краще, ніж А, а для громадян від 1 до 5  місце В краще, ніж С.

 

Математичні моделі універсальні, тому сказане вище можна поширити і на політику. Припустимо, лінія на рисунку – це політична шкала «лівий-правий». На цій шкалі А – лівий кандидат, В – лівоцентрист, а С – крайній правий, натомість виборці репрезентують широкий спектр –  від крайніх лівих до крайніх правих.

 

Зупинимось зараз на такому поширеному явищі, як стратегічне голосування (його ще інколи називають тактичним голосуванням). Припустимо, що система виборів враховує лише число потраплянь кандидата на перші позиції – хто має більше перших місць, той і перемагає. Звернімося знову до першої таблиці.

За щойно сформульваним правилом перемагає Андрій. Однак для прихильників Василини Андрієва перемога найменш бажана, тому вони домовилися, що, оскільки перемога Василини малореальна, проголосують за Степана. Оце і є стратегічне голосування – голосувати не за найкращого свого кандидата, а за дещо гіршого, аби не обрали взагалі поганого.

 

У сучасних виборчих практиках найбільший відсоток виборців, що вдалися до стратегічного голосування, зафіксовано у 2011 році у Словенії. Тоді 30% виборців голосували не за свого найкращого кандидата, щоб не допустити перемоги представника Словенської демократичної партії на парламентських виборах.

 

Зрозуміло, що у випадку, коли кандидатів усього два, жодному виборцеві нема потреби вдаватися до стратегічного голосування. Однак, коли кандидатів три або більше, тоді не існує демократичного способу виборів, за якого  жодному виборцеві або групі виборців не буде вигідним стратегічне голосування. Цей математичний результат довели в 70-х роках минулого століття Алан Ґіббард та Марк Сатертвейт.

 

Пізніше з’ясувалося, що теорему Ґіббарда-Сатертвейта можна одержати внаслідок згаданої вище теореми Ероу.

 

Ми лише торкнулися широкої проблематики застосування математики до аналізу виборчих процедур. У цьому напрямку існує обширна література і проводяться інтенсивні дослідження. Однак зрозуміло, що демократію не підмінити жодними обчисленнями, — математика може лише допомагати у складному завданні перетворення наших індивідуальних преференцій у колективні рішення.

Михайло Зарічний – доктор фізико-математичних наук, професор кафедри геометрії і топології, декан механіко-математичного факультету (2004-2016) Львівського національного університету імені Івана Франка.

ТЕКСТ: Михайло Зарічний
Статті

Повідомити про помилку

Текст, який буде надіслано нашим редакторам: