ОСТАННІЙ ПОДКАСТ
Підписуйся на найнауковішу розсилку!
І отримуй щотижневі новини науки і технологій

    Ми під'їдаємо крихти cookies за вами. Навіщо це нам?

    Читати

    Пардон за відволікалочку. Допоможи Куншт бути незалежним!

    Пардон за відволікалочку. Допоможи Куншт бути незалежним!

    Повідомлення успішно надіслано

    Для пошуку
    введіть назву запису
    Математика — 13.01.20
    ТЕКСТ: Джордан Елленберґ
    Ілюстрації: Каталіна Маєвська
    Ми любимо тексти без помилок. Якщо ви все ж таки щось знайшли, виділіть фрагмент і натисніть
    Ctrl+Enter.
    Про захист літаків та інвестиційних фондів. Уривок з книги «Як ніколи не помилятись»

    Математичний спосіб мислення допомагає уникнути багатьох помилок. Він стає у пригоді всім – від військових стратегів і фінансових аналітиків до «звичайних» людей, які прагнуть ухвалювати правильні рішення у власному житті. Публікуємо уривок з книги американського математика Джордана Елленберґа «Як ніколи не помилятись. Сила математичного мислення», яка вийшла українською у видавництві «Наш Формат». 

    Абрагам Вальд і відсутні кульові пробоїни

     

    Ця історія, як і багато історій періоду Другої світової війни, починається з переслідування нацистами єврея, а закінчується тим, що їм це обернулося на гірше. Абрагам Вальд народився 1902 року у місті, яке звалося тоді Клаузенбурґом, у країні, яка мала тоді назву Австро-Угорської імперії. Коли Вальд був підлітком, Перша світова війна змінила назву його рідного міста на Клуж, а країни – на Румунію. Онук рабина і син кошерного пекаря, Вальд-молодший майже від самого початку був математиком. Його талант швидко помітили, і він вступив до Віденського університету, де взявся за вивчення тем, які вважаються абстрактними і тяжкими навіть за стандартами чистої математики – теорії множин і метричних просторів.

     

    Та коли Вальд закінчив навчання, була середина 1930-х років, Австрія потерпала від глибокої економічної кризи, а стати професором у Відні іноземцеві було неможливо. Врятувала Вальда пропозиція роботи від Оскара Моргенштерна. Згодом Моргенштерн виїде до Сполучених Штатів, де братиме участь у розробці теорії ігор, але 1933 року він обіймав посаду директора Австрійського інституту економічних досліджень і взяв Вальда на роботу з маленькою зарплатнею, «математичним підсобником». Як виявилося, для Вальда це було добрим кроком: його досвід в економіці допоміг отримати стипендію від Комісії Коулза, економічного інституту, розташованого тоді в Колорадо-Спринґс. Незважаючи на постійне погіршення політичного становища, Вальд не хотів робити крок, який змусить його назавжди залишити чисту математику. Але зрештою нацисти захопили Австрію, і це допомогло Вальду визначитися. Вже через кілька місяців у Колорадо йому запропонували посаду професора статистики в Колумбійському університеті; він ще раз спакував валізи і переїхав до Нью-Йорка.

     

    І саме там йому довелося воювати.

     

    Група статистичних досліджень (ГСД), у якій Вальд працював більшу частину Другої світової війни, являла собою секретну програму, яка мобілізувала американських статистиків для роботи на війну – щось на зразок Мангеттенського проекту, за винятком того, що тут розробляли бойові рівняння, а не вибухові пристрої. ГСД справді розташовувалася на Мангеттені, у будинку № 401 по 118-й вулиці, на Морніґсайд Гайтс, лише за квартал від Колумбійського університету. Сьогодні тут квартири викладачів університету та кілька приймалень лікарів, але 1943-го це був постійно заклопотаний нервовий центр військової математики. У Групі прикладної математики Колумбійського університету десятки молодих дівчат, схилившись над настільними калькуляторами Маршана, обчислювали формули для оптимальної кривої, рухаючись якою, винищувач найдовше триматиме ворожий літак на прицілі. В іншому приміщенні група дослідників з Принстона розробляла інструкції для стратегічних бомбардувальників. А просто за сусідніми дверима Колумбійське відділення працювало над створенням атомної бомби.

     

    Однак ГСД була найпотужнішою і зрештою найвпливовішою з усіх цих груп. Тут поєднувалися інтелектуальна відкритість і інтенсивна праця академічної установи з відчуттям спільної мети, яке дає тільки велика відповідальність. «Коли ми давали рекомендації, – часто це мало результат. Боєзапас винищувачів за рекомендаціями Джека Вулфовіца був укомплектований різними типами боєприпасів, і пілоти могли повернутися або не повернутися. Літаки морської авіації випускали ракети, пальне яких перевірялося за планом вибіркового контролю Ейба Гіршика, і ракети могли вибухнути і зруйнувати наші літаки, а могли уразити цілі».

     

    Математичні таланти, задіяні у роботі, відповідали серйозності завдання. За словами Волліса, ГСД була «найвидатнішою групою статистиків усіх часів, і за кількістю, і за якістю». Там працював Фредерік Мостеллер, який згодом організує факультет статистики у Гарварді. А ще Леонард Джиммі Севідж, піонер теорії прийняття рішень і великий прихильник наукової дисципліни, яка отримала назву Баєсової статистики був укомплектований різними типами боєприпасів, і пілоти могли повернутися або не повернутися. Літаки морської авіації випускали ракети, пальне яких перевірялося за планом вибіркового контролю Ейба Гіршика, і ракети могли вибухнути і зруйнувати наші літаки, а могли уразити цілі».

     

    Найрозумнішим із присутніх зазвичай був Абрагам Вальд. Вальда, викладача Аллена Волліса в Колумбійському університеті, у групі вважали таким собі математичним світилом. Він все ще був «громадянином ворожої держави» і формально не мав допуску до секретних документів, які сам же й готував; у ГСД жартували, що секретарям наказали виривати в нього з рук кожну сторінку записника, щойно він закінчить на ній писати. Вальд був тут до певної міри несподіваним персонажем. Його вабила абстракція, а не прикладні задачі. Втім, очевидним було і його прагнення застосувати свої таланти у боротьбі проти нацистів. А коли потрібно було надати неясній ідеї математичної точності, саме Вальда краще було мати на своєму боці.

    У післяопераційних палатах госпіталів набагато більше пацієнтів з пробитими кулями ногами, ніж грудьми

    Отже, про що йдеться? Ви не хочете, щоб ворожі винищувачі збивали ваші літаки, і тому ви їх бронюєте. Але броня робить літак тяжчим, а тяжчі літаки менш маневрені, і їм потрібно більше пального. Надмір броні на літаку – проблема; брак броні на літаку – теж проблема. Оптимальне рішення десь посередині. Причина, з якої ви зібрали групу математиків у нью-йоркській квартирі, – знайти це оптимальне рішення.

     

    Військові прийшли до ГСД із корисними, на їхню думку, даними. Американські літаки поверталися з боїв над Європою, всіяні кульовими пробоїнами. Однак ушкодження не розподілялись рівномірно по корпусу літака. У фюзеляжах пробоїн було більше, у моторних відділеннях менше.

     

    Військові вважали, що є можливість для оптимізації: можна отримати той самий захист меншим обсягом броні, якщо зосередити її у місцях, де вона потрібна більше – там, де літаки отримують найбільше ушкоджень. Але скільки саме потрібно броні для цих частин літака? По відповідь вони і прийшли до Вальда. На це питання відповіді вони не отримали.

     

    Вальд сказав, що бронювати частини, де є пробоїни, не потрібно. Бронювати потрібно ті, де пробоїн немає: двигуни.

     

    Ідея Вальда полягала у простому питанні: куди діваються пробоїни, яких бракує? Ті, які були б на всьому корпусі, якби ушкодження розподілялися по ньому рівномірно? Вальд мав цілковиту певність, що це знає. Пробоїни, яких бракувало, були на відсутніх літаках. Причина того, що літаки поверталися з меншою кількістю пробоїн у моторних відділеннях, полягала в тому, що літаки з пробоїнами у двигунах не поверталися. Тоді як велика кількість літаків, що поверталися на аеродроми з порешеченими фюзеляжами, являла собою доказ того, що з пробоїнами у фюзеляжі можна (а тому потрібно) миритися. У післяопераційних палатах госпіталів набагато більше пацієнтів з пробитими кулями ногами, ніж грудьми. Та це не тому, що солдати не отримують поранень у груди, а тому, що ті, кого поранило у груди, до післяопераційної палати не доживають.

     

    Існує старий математичний прийом, що проясняє картину гранично чітко: прирівняти деякі змінні до нуля. У нашому випадку така змінна – це ймовірність того, що літак, який отримав ураження двигуна, залишається у повітрі. Прирівняти ці змінні до нуля означає, що єдине ураження двигуна гарантовано збиває літак. Як у такому разі виглядатимуть дані? Тоді б були літаки, що повертаються на аеродром із пробоїнами у крилах, фюзеляжі, носі – але без жодної пробоїни у двигуні. Військові аналітики мали два варіанти пояснення цього: або німецькі кулі влучають в усі частини літаків, за винятком однієї, або двигун є місцем стовідсоткової вразливості. Обидва варіанти пояснюють отримані дані, але останнє набагато достовірніше. Бронювати треба там, де пробоїн немає.

     

    Рекомендацію Вальда було швидко втілено в життя; вона використовувалася у військовій авіації під час Корейської і В’єтнамської війн. Не можу точно сказати, скільки американських літаків було врятовано, проте, поза сумнівом, наступники ГСД у сьогоднішній армії знають це достеменно. Американські військові традиційно дуже добре усвідомлюють одну річ: країни перемагають у війнах не через те, що вони хоробріші або вільніші за супротивника, чи тому, що Бог до них трішечки ласкавіший. Переможці, як правило, – це ті хлопці, чиїх літаків збивають на 5 % менше, хто використовує на 5 % менше пального, хто дає на 5 % більше харчів своїй піхоті за 95 % вартості. Цього не побачиш у кінофільмах про війну, але саме з цього робиться війна. І на кожному кроці тут – математика.

     

    Чому Вальд розумів те, чого не розуміли військові, що значно більше за нього знали про війну в повітрі? Усе зводиться до натренованого математикою способу його мислення. Математик завжди запитує: «З яких припущень ви виходите? Чи обґрунтовані вони?» Це може дратувати. Але це водночас може бути надзвичайно продуктивним. У нашому випадку військові мимохіть робили припущення: що літаки, які повертаються з бою, становлять випадкову вибірку усіх літаків. Якби це було так, можна було б робити висновки про розподіл кульових пробоїн на всіх літаках за розподілом пробоїн на тих, що повернулися. Як тільки ви розумієте, що висуваєте таку гіпотезу, відразу стає ясною її докорінна хибність; немає жодної підстави вважати, що літаки мають однаковий шанс не бути збитими безвідносно до того, куди саме вони утримують ураження. Математичною мовою, до якої ми повернемося у розділі 15, кажуть, що між показниками виживання літаків і місцями уражень існує кореляція.

    Оцінювати десятилітню вартість фондів взаємного інвестування в кінці десятирічного періоду – це, зрештою, те саме, що оцінювати маневри ухилення пілотів, рахуючи кульові пробоїни на літках, що повернулися з бою

    Ще одна перевага Вальда полягала у його схильності до абстракції. Вулфовіц, який учився у Вальда в Колумбійському університеті, пише, що він найбільше полюбляв задачі «найабстрактнішого ґатунку», і що він «завжди охоче говорив про математику, але не був зацікавлений у її популяризації і практичному застосуванні».

     

    Через такий характер Вальдові було тяжко зосереджуватися на прикладних завданнях, це правда. Він вважав, що подробиці щодо літаків, кулеметів і гармат були зайвими – його погляд проникав безпосередньо до математичної структури, на якій усе тримається. Часом через такий підхід можна не помітити того, що має значення. Але він також дає змогу бачити спільну основу проблем, які з поверхового погляду здаються цілковито різними. Таким чином виявляється, що ви маєте важливий досвід навіть у тому, де, здається, не маєте жодного.

     

    Для математика в основі задачі про кульові пробоїни лежить явище, що має назву систематична помилка уцілілого. Вона виникає знову і знову, у найрізноманітніших умовах. І якщо ви з нею знайомі, як був знайомим Вальд, ви її помітите, хай там де вона ховається.

     

    Наприклад, у пайових інвестиційних фондах. Оцінка діяльності фондів – це сфера, у якій не хочеться припускатися помилки, навіть незначної. Різниця в 1 % річного зростання може бути різницею між цінним активом і безперспективною інвестицією. Великі фонди, представлені в рейтингу агентства «Морніґстар», які здійснюють взаємні інвестиції у великі компанії, що приблизно відповідають спискові S&P 500, виглядають як перше. Фонди цієї категорії продемонстрували у період 1995–2004 років середнє зростання в 178,4 %, у середньому добрі 10,8 % на рік. Начебто виглядає так, що, коли маєш гроші, то потрібно інвестувати у ці фонди, хіба ні?

     

    А от і ні. Дослідження 2006 року компанії «Сейвант Кепітал» допомагає подивитися на представлені цифри дещо тверезіше. Ще раз погляньмо, як агентство «Морнінґстар» отримує ці показники. 2004 рік: беремо усі фонди згаданої категорії агентства «Морнінґстар» і дивимося, як вони зростали протягом останніх десяти років.

     

    Але чогось бракує: фондів, яких там немає. Фонди взаємного інвестування не існують вічно. Хтось процвітає, хтось зникає. Ті, що зникають, переважно не заробляють грошей. Тож оцінювати десятилітню вартість фондів взаємного інвестування в кінці десятирічного періоду – це, зрештою, те саме, що оцінювати маневри ухилення пілотів, рахуючи кульові пробоїни на літках, що повернулися з бою. Що значить, коли на літак припадає не більше за одну пробоїну? Не те, що наші льотчики так майстерно ухиляються від ворожого вогню, а те, що коли літак отримує два ураження, то він загоряється й падає.

     

    Дослідження компанії «Сейвант» показує, що якби, нарівні з діючими, було враховано діяльність зниклих фондів, показник рентабельності знизився б до 134,5 % – набагато більш звичайні 8,9 % на рік. Це підтверджується і результатами новішого дослідження: масштабне дослідження 2011 року, здійснене виданням «Рев’ю оф Файненс», яке охопило майже 5 тисяч фондів, свідчить, що показник перевищення середньої рентабельності 2 641 діючого фонду є приблизно на 20 % вищим, ніж той самий показник, обчислений з урахуванням фондів, яких вже немає. Розміри ефекту систематичної помилки уцілілого можуть здивувати інвесторів, але Абрагама Вальда вони б не здивували.

     

    Розігруємо примірник «Сили математичного мислення» у телеграм-каналі Друзів Куншт. Якщо ви хочете підтримувати наукову журналістику в Україні, більше дізнаватись про роботу нашої редакції та брати участь у таких розіграшах – долучайтесь!

    ТЕКСТ: Джордан Елленберґ
    Ілюстрації: Каталіна Маєвська
    Статті
    Промо
    Проєкт інтелект. Воєнний сезон. Епізод 5: NFT та Україна

    Чи можна написати «Проєкт інтелект» на гривні й продати за мільйони доларів як NFT?

    Людина
    Від батька до сина: що таке генеалогія і як досліджувати свій рід

    Що таке ДНК-генеалогія і як далеко кожний з нас може просунутися у вивченні свого роду?

    Наука
    Екологічно чиста отрута: уривок з книжки «Зоологічна екскурсія супермаркетом»

    Чому краще утриматися від «дикого» промислу морепродуктів, особливо у водоймах, де цвіте вода?

    Наука
    Передумови приходу диктаторів до влади: Італія, Німеччина, РФ

    Що стало передумовами приходу диктаторів до влади на прикладі фашистської Італії, нацистської Німеччини та путінської росії? Розповідає співавтор і ведучий каналу «Історія Без Міфів» Владлен Мараєв.

    Людина
    Як кожен з нас може подякувати військовим і допомогти їм з адаптацією

    Як змінюється світосприйняття військових і що ми можемо зробити, аби висловити їм вдячність і допомогти в адаптації до мирного життя?

    Біологія
    Не тільки в історії. Який слід залишить війна в наших генах

    Як війни, голод та важкі психологічні травми залишають слід у геномі людини й чи можемо ми на це якось повпливати?

    Повідомити про помилку

    Текст, який буде надіслано нашим редакторам: